Bei meinem Hoster ist das so, das ich über "phpMy Admin" auf die MySQL Datenbanken zu greifen kann. Darüber ein Back up machen und dies exportieren. Beim neuen Hoster über die Importfunktion wieder auf spielen und das ganze lief. So habe ich das bisher aber nur bei meinem Hoster gemacht, bevor ich ein Update gemacht hatte, welches schief gegangen ist. Also gleicher Provider, gleiche Datenbank usw. Dies hat einwandfrei funktioniert.

Aber bevor du das Backup aufspielst musst du, logischerweise erstmal das Forum wieder installieren, sonst findet er die Tabellen Präfixe nicht, die beim alten wie beim neuen Hoster gleichbenannt werden sollen. Aus diesem Grund verwende ich immer die Standardpräfixe, damit es keine Probleme gibt.

Die Grunddateien musst du wie du schon richtig geschrieben hast über das FTP - Tool hochladen.

So ist bisher mein Kenntnisstand. Sollte ich falsch liegen bitte korrigieren.

Danke!

PS.: Präfixe von phpBB sehen in der Datenbank bei Standard eigentlich immer so aus:
"phpbb_"